EE.LL. e Cedere credito

In una causa per la quale un avvocato (esterno) di un Ente aveva prodotto un preventivo di 1.000, il giudice in sentenza ha liquidato 10.000 come spese di lite.
Per regolamento interno dell'Ente, se il liquidato dal giudice (come spese di lite) è maggiore del preventivo del avvocato, è suo diritto avere la differenza.
In questo caso, tuttavia, l'avvocato esterno ha ricevuto un'offerta dalla controparte per la quale, se la richiesta economica dell'Ente si limita ad € 5.000, la controparte paga subito e si chiude tutto.
Viceversa, se la richiesta economica si adegua a quanto liquidato dal giudice (10.000), sarà più difficile riuscire a recuperare la somma, se non con azioni aggiuntive.
L'avvocato dell'Ente si dice disponibile, purché la questione si chiuda velocemente, a "rinunciare" alla differenza tra quanto offerto dalla controparte e (5.000) e il liquidato dal giudice (10.000) e, di conseguenza, non avendo l'Ente possibilità di transigere essendo già stata pronunciata sentenza, per semplificare e con lo scopo di chiudere comunque tutto il prima possibile, l’Ente sta valutando la possibilità di fare una "cessione" di tutto il suo credito derivante dalla sentenza (ossia 10.000) al suo avvocato, ovviamente assorbendo in tale cifra anche quella originariamente impegnata a suo favore (1.000), e l'avvocato chiederà alla controparte ciò che riterrà.
Ma come si gestisce la questione? Atto pubblico? Scrittura privata? O anche semplice scambio di lettere? E per quanto riguarda la fatturazione? L'avvocato cosa fattura? E a chi? All'Ente, in quanto suo cliente e “cedente” il credito? o alla controparte in quanto debitore “ceduto” nonché soggetto da cui materialmente riceverà la somma?
E per quanto riguarda il pagamento dell’iva e la trattenuta? Come funziona?
Grazie.