Controversia con concessionario

Buongiorno,
A febbraio 2022 ho acquistato un'auto usata da concessionario.
L'auto è coperta da 12 mesi di garanzia(che da quello che ho capito è affidata a garanzia esterna).
Il problema è che a settembre 2022 la cinghia dell'auto(cambiata prima dell'acquisto e con circa 40.000 km) è scivolata e ha portato ad un piegamento delle valvole(3200€ circa di lavori), il meccanico ha fornito tutte le documentazioni alla garanzia che ha rifiutato il pagamento.
Per tutta risposta il concessionario mi propone 500€ di aiuto per gentilezza dato che lui dice di non avere alcuna responabilità.
La mia domanda è: è realmente così o deve pagare tutto il concessionario?
Tralasciando il disagio dovuto al fatto di essere senza auto da più di un mese e mezzo(tempi lunghi a causa di attesa di risposta da parte della garanzia) e lavorando a circa 40km da casa dovendo quindi usufruire, pagando di tasca mia, dei trasporti pubblici.
Grazie